SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN

a. TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D

1.y=f (x) đồng biến trên D ⇔ ta có

2.y=f (x) nghịch biến trên D ⇔ ta có

3.y=f (x) đồng biến trên D ⇔ƒ′(x) ≥ 0 đồng thời ƒ′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm ∈ D.

4.y=f (x) nghịch biến / D ⇔ƒ′(x) ≤ 0 đồng thời ƒ′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm ∈ D.

5.Cực trị hàm số : Hàm số đạt cực trị tại điểm đổi dấu khi qua. ( chú ý hàm số liên tục tại ).

6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

• Giả sử y=ƒ(x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại .

Khi đó:  

• Nếu y=f (x) đồng biến / [a, b] thì

• Nếu y=f (x) nghịch biến / [a, b] thì

b. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Nghiệm của phương trình u(x) =v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị với đồ thị .

2. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≥v(x) là

phần hoành độ tương ứng với phần

đồ thị nằm ở phía trên

so với phần đồ thị .

3. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≤v(x) là

phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị

nằm ở phía dưới so với phần đồ thị .

4. Nghiệm của phương trình u(x) =m là hoành độ

giao điểm của đường thẳng  y=m với đồ thị .

5. BPT  u(x) ≥m nghiệm đúng ∀x∈I ⇔

6. BPT  u(x) ≤m ngh đúng ∀x∈I ⇔

7. BPT u(x) ≥m có nghiệm x∈I ⇔

8. BPT  u(x) ≤m có nghiệm x∈I ⇔

Chú ý: Hàm tăng giảm nghiêm ngặt.

Mệnh đề 1: Xét phương trình f(x) = m, m là hằng số . Nếu trên miền D hàm số f(x) đồng biến ( Hoặc nghịch biến) và phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

Mệnh đề 2: Xét phương trình f(x) = g(x) với . Nếu trên miền D hàm f(x) đồng biến và g(x) nghịch biến và nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

B. BÀI TẬP ỨNG DỤNG:

a. ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÔNG CHỨA THAM SỐ:

Bài 1: Cho phương trình (1). Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất.  ( Đề khối D -2004).

Giải

Ta có (2), từ (2), vậy vẫn từ (2) ta có .

Như vậy mọi nghiệm của phương trình (1) (nếu có) thì

Nên (3)

Ta có . Mặt khác f(x) liên tục , suy ra hàm số f(x) đồng biến .(*)

Mà f(1).f(2)<0. 2="" span="">

Từ (*) và (2*) suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

Bài 2:Giải hệ phương trình:

(1)  ( Khối A 2003).Giải.

Với đk , ta có

Giải (2)

Giải (3), Xét hàm số f(x)= với

Minf(x)>0 , nên hệ phương trình (3) vô nghiệm.

Chú ý: Rất nhiều học sinh giải bài toán theo hướng :

Đặt nên f(x) = f(y) => x = y rồi thế vào phương trình còn lại trong hệ đề giải.

Đây là một sai lầm thường mắc phải của các em học sinh khi sử dụng phương pháp này, bởi vì hàm số f(t) gián đoạn tại t = 0.

Nhận xét: Với và y = f(x) liên tục trên thì

Bài 3: Giải phương trình

Giải:

Với điều kiện , xét hàm số , mà hàm số liên tục suy ra hàm số đồng biến trên .

Mặt khác, phương trình có nghiệm x = 2. Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài 4: Giải phương trình

Giải:

Đkiện x>3, với đk pt(1)

.

Ta có:. Vậy với x>3 thì hsố f(x) đồng biến, và g(x) nghịch biến. Mặt khác f(11) = g(11) = 5, vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 11.

Bài 5: Giải bất phương trình:    (6)

Giải:

(6)

Xét hàm số f(t)= t3+3t,  D = R.

Ta có : f’(t) = 3t2+2 > 0 nên f đồng biến trên R.

.

Xét x-2 < 0  thì BPT nghiệm đúng.

Xét x-2 0  thì  2x-1 > 0 nên BPT  : đúng

Vậy tập nghiệm S = R.

Bài 7: Giải bất phương trình:     (7)

Giải:

Ta có:

Đặt

Bất phương trình trở thành:

Hàm nghịch biến với  

Mà   .

Suy ra, bất phương trình đã cho vô nghiệm.

b. ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ:

Bài 1.Cho hàm số

a. Tìm m để phương trình ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2].

b. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≤ 0 nghiệm đúng ∀x∈[1; 4].

c. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈

Giải:

a. Biến đổi phương trình ƒ(x) = 0 ta có: .

Để ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2] thì

b. Ta có ∀x∈[1; 4] thì ⇔⇔.

Do  giảm trên [1; 4] nên ycbt ⇔

c. Ta có với x∈ thì ⇔.

Đặt . Xét các khả năng sau đây:

+ Nếu thì bất phương trình trở thành nên vô nghiệm.

+ Nếu thì BPT có nghiệm .

Do giảm /  nên ycbt

+ Nếu thì nên BPT có nghiệm . Ta có .

Do đó nghịch biến nên ta có

Kết luận:ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈

Bài 2.(Đề TSĐH khối A, 2007)

Tìm m để phương trình có nghiệm thực.

Giải:

ĐK: , biến đổi phương trình

.

Đặt .

Khi đó

Ta có .

Do đó yêu cầu

Bài 3. (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi , phương trình luôn có đúng hai nghiệm phân biệt.

Giải:

Điều kiện: .

Biến đổi phương trình ta có:

.

Ycbt có đúng một nghiệm thuộc khoảng . Thật vậy ta có:

. Do đó đồng biến mà liên tục và  

nên có đúng một nghiệm ∈.

Vậy , phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 4. (Đề TSĐH khối D, 2007):

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

Giải:

Đặt ta có

và

Khi đó hệ trở thành

⇔ là nghiệm của phương trình bậc hai

Hệ có nghiệm có 2 nghiệm thỏa mãn .

Lập Bảng biến thiên của hàm số với

T			– 2		2		5/2		+
		–				–	0	+
	+		22		2		7/4		+

Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm

Bài 5: Tìm m để đồng biến trên (0, 3)

Giải.

Hàm số tăng trên (0,3) ⇔ (1)

( Dấu = xảy ra tại một số điểm hữu hạn )

Do liên tục tại x= 0 và x= 3 nên (1) ⇔y′≥ 0 ∀x∈[0, 3]

⇔⇔

. Ta có:

⇒g(x) đồng biến trên [0, 3] ⇒

Nhận xét:Sử dụng phương pháp hàm số để giải toán là một trong những phương pháp tối ưu khi giải các bài toán trong các đề thi đại học phần phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, đặc biệt là các bài toán tham số. Tuy nhiên,  trong phạm vi bài viết này tôi chỉ nêu một số ít bài toán để các em học sinh tham khảo. Tôi hy vọng các em sẽ ứng dụng thành công những gì tôi đã truyền đạt trong đề tài để đạt kết quả tốt trong quá trình học tập cũng như trong kỳ thi tốt nghiệp và các kỳ thi tuyển sinh sắp tới.

C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

1. Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

(Đại học, cao đẳng khối B – 2004)

2.Giải phương trình:

3. Giải phương trình:

4. Tìm m  để bất phương trình đúng

5. Giải bất phương trình

6. Giải bất phương trình

7. Giải các phương trình sau:

 .

 .

.

.

8. Giải các bất phương trình sau:

.

.

9. Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng ∀x≥ 1 

10.Tìm m để bất phương trình đúng

11.Tìm m để phương trình: có nghiệm.

12. Tìm m để bất phương trình: có nghiệm.

13.Tìm m để nghiệm  đúng